Простуда, длительное время подъем температуры, антибиотики

Здравствуйте!
Мальчик 4 года. Первые симптомы простуды появились 7.10.2020 (горло утром, вечером температура 38.3-38.8). Сбивали температуру нурофеном 7.5мл. Горло лечили тантум верде и фарингосепт. Температура держалась 38-39 3 дня (имеется ввиду от одного приема жаропонижающего до другого приема ~8 часов, в этот интервал удавалось сбить до нормальной и снова вернуться к максимальной). Потом настал период, когда утром и днем температура держалась 37.0-38.0, а к вечеру начинала подниматься выше 38 и снова сбивали нурофеном. Этот период длился 3 дня. Сегодня ребёнок уже к 17.00 был с температурой 39.1. Есть вероятность, что такой подъем был из-за плача, капризов, взбудораженности и достаточно теплого воздуха в помещении. Но мне кажется, что она скаканула не из-за жары. Ребёнок явно говорил, что ему холодно, что его знобит. Кашель, насморк и горло как были в начале болезни, так они и остались по сей день в той же степени
За весь период болезни у нас был дважды педиатр. Слушала легкие - чистые. Горло красноватое. Насморк беспокоит, но не сильно.
Вопрос в следующем:
1. Это нормально, что так много дней поднимается высокая температура, хоть и раз в сутки?
2. можно ли ее столько дней сбивать нурофеном?
3. Может ли это быть симптомом присоединения бактериальной инфекции?
4. ОАК покажет присоединение бактериальной инфекции и как в этом разобраться самостоятельно?
5. Однажды прозвучал от врача возможный вариант антибиотика для лечения присоединившейся бактериальной инфекции - амоксиклав. Можно ли назначать антибиотик без предварительных анализов и какие в этом случае нужны анализы?

Заранее спасибо за ответ.