Антибиотики при сухом кашле у ребенка

Здравствуйте, ребёнок начал болеть с понедельника. Температура 38,5 - 39, был очень вялый, присутствовал небольшой кашель и насморк с прозрачной слизью.
Температуру сбивали Нурофеном и парацетамолом, нос промывали аквамврисрм.
Во вторник был участковый педиатр, сказал, что это вирусное. Рекомендовал симптоматическое лечение, обильно питье.
В горло брызгать тантум верде, нос промывать солевым раствором и свечи киноферон, но свечи мы не стали использовать.

В среду ребёнок был очень бодрый, температуры не было. А в четверг к вечеру снова начала подниматься температура, но не такая высокая, 37,5 - 37,7. Ребёнок жаловался на головную боль и боль в ухе. Но после сна боль прошла сама. Снова появился кашель, насморк с празрачной слизью.

В пятницу кашель стал сухим, изнуряющим. Ночью ребёнок очень плохо спал и пожаловался, что у него болит ухо, в этот раз пришлось дать нурофен, после приёма нурофена боль прошла.

В субботу был врач и назначил антибиотики.
Суспензию Амоксиклав 250мг, 5мл 3 раза в день, на 7 дней.
Проспан сироп 2,5мл 3 раза в день.
В горло ингалипт.

Я не уверена, что нужны антибиотики.
Подскажите, правильно ли врач назначил лечение?
Может лучше сдать анализ крови, прежде чем пить антибиотик?
Благодарю за ответ!