Температура на 7 день кашля

Здравствуйте, ребёнок пошёл в сад два песяца назад и начались бесконечные болезни. В общем, за 2 месяца в саду были 15 дней. Весь ноябрь лечим насморк, тобрадекс, ринофлуимуцил, полидексу, проделали всегокурс по 7 дней. Выписались с больничного с ночным небольшим покашливанием (появилось в последние два дня двухнелельного больничного). Сказали остаточное. Но по итогу за неделю это остаточное переросло в ночной кашель каждый час приступами минут по пять, сухой, глотку у него дерет ужасно. Сдали оак позавчера. Вчера 37.2 весь день, и кашель из приступообразного стал постоянным и днем и ночью. Ночью 37.5, днем 38.3. Оак в норме, но он сдан за день до ухудшения (результатов нет, врач сказала сое и лейкоциты норм) врач пришла послушала, сказала хрипов нет, дыхание жёсткое, горло краснющее, сказала трахеит вырисала аугментин и ингаляции с пултмикортом. Меня беспокоит: 1) это же явно ухудшение, боюсь пневмонии, стоит ли сделать рентген 2) нужен ли пульмикорт в нашем случае?