Температура неделю прыгает, то спадет, то поднимется, кашель, насморк

Здравствуйте, неделю назад у ребенка поднялась температура, максимальная была 39, не сбивали, упала сама. Неделю уже прыгает, то 36,6, то опять поднимается,37,5- 38,5. До этого заболела старшая дочь, тоже с высокой температурой(39,5), сейчас она лежит в инфекционном отделении. Я сама с такими же симптомами тоже неделю болею.
Помимо температуры у ребенка кашель не частый, влажный, но трудно откашливаемый. Участковый педиатр назначила противовирусный препарат(гриппферон), от кашля сначала амброксол, теперь вот бромгексин, ничего не помогает. Кроме кашля ещё насморк, сопли то белые, то зеленые, сильно не текут, забивают нос, отсмаркиваем. От насморка назначили Виброцил. Но отека у нее нет, она дышит нормально и когда спит, и когда почистим нос.
Мне самой на приёме терапевт сказала, что ходит сейчас бактериальная инфекция, которая только антибиотиком убирается. Старшую дочь тоже лечат антибиотиком.
Скажите, стоит ли начать лечить ребёнка антибиотиком, и каким лучше. В феврале мы пили Сумамед, т. к тоже был кашель после бронхита и зеленые сопли. Сейчас апрель, не будет ли слишком частым применение антибиотиков ребенку