Аллергия на шерсть? Возможно ли животное в доме?

Здравствуйте, сыну 3 года, не аллергик. Летом, в конце августа зевели кошку, подшёрстка нет, шерсть короткая. Пока была котенком, все нормально. До октября месяца проблем не было. Ребёнок стал ходить в садик, заболел, была высокая температура и на гландах белые пробки, лечились с антибиотиком. Но после этого остался сухой кашель, так и не проходил. Сдали кучу анализов, на все что можно - глисты, риноцистограмму, микоплазму, хламидию, коклюш, паракоклюш, мазок из зева и носа, пылевых клещей все чисто. Сдали анализ на эпителий и перхоть кошки - 0, реакции нет, иммуноглобулин Е в норме, 20 ед. Рядом с кошкой ребёнок не кашлял, не чихал, вел себя нормально. Но продолжался периодический сухой кашель, кошка стала линять ещё как раз.
В общем анализе эозинофилы стали повышается сначала - 8, 11, 16% стал кашлять сильнее и чаше, появились обструкции. Кошка прожила у нас 5 месяцев. В декабре отдали свекрови, на время, посмотреть, может реакция на кошку. Ещё пропили профилактический курс от глист.
Кошки нет рядом месяц, кашель уменьшился, осталось небольшое покашливание днем, иногда и его нет, бывают дни и без кашля, эозинофилы стали 6,7%.
Чтобы наконец разобраться в чем причина, нашли где можно сдать анализ на конкретное животное, сдали на дегрануляцию тучных клеток (ДТК) на шерсть своего животного, корм и кошачий наполнитель. Анализ показал по одному плюсу на все и - 15, 16 и 12% соответственно.
Это значит что аллергия? И получается что она на шерсть, а эпителий и перхоть отрицательный анализ.
Возможно ли будет завести животное без шерсти в нашем случае?