У ребёнка сухой кашель 4 месяца

Здравствуйте, сыну три года. В августе поставили последнюю прививку АКДС (пентаксим). Тогда же завели кошку, купили новую мебель и отселили сына в свою комнату.
Пошёл в садик в конце сентября. Через две недели заболел, температура, кашель, насморк, горло. На миндалинах были гнойные точки, лечились аугументином. Выздоровели, а кашель остался. Сухой, иногда закашливается до рвотного рефлекса. Кашель то больше, то меньше.
Сдали кучу анализов - мазок из носа и зева, кровь на хламидии, микоплазмы, коклюш, паракоклюш, пищевые аллергены - молоко, яйцо, арахис, соя, треска, на кошку - эпителий и перхоть, на пыль - все отрицательно. Иммуноглобулин Е в норме. Но в общем анализе крови эозинофилы сначала были 6, потом 8, а теперь уже 16! Вот уже 4 месяца, не было дня чтоб не кашлял. Ночью спит хорошо, единственное время без кашля.
Были у Лора, она сказала по её части ничего. Сдали на яйца глист, энтеробиоз, и кровь на лямлии, токсокары и ещё кого то - все отрицательно.
В семье аллергиков, астматиков нет. Аллергии у ребёнка ни на что не наблюдалось, кроме как на сиропы-лекарсива. Сиропы от кашля не помогают, от аллергии пили зиртек, эриус, разницы нет.
В декабре кашлял часто, без остановки, сходили к пульманолог, по слушала, говорит срочно на ренген, о. обструктивный бронхит и пневмония под вопросом - никогда до этого проблем с кашлем, и бронхитов не было. Сказали поделать ингаляции с беродуалом. На следующий день сделали ренген, но он уже не кашлял так часто - легочный рисунок усилен, остальное без изменений. Слушались на следующий день - все чисто, никакой обструкции и хрипов, но выписали антибиотик сумамед на 7 дней. Покашливания уменьшились, но так и остались.
Перед новым годом заболел, кашель был частый, сухой, тяжело дышал, делали ингаляции с беродуалом, толку не было.
Пришли к врачу, выписали пульмикорт+беродуал+лазолван, к вечеру температура 38.6. От ингаляций стало получше немного. Температура была три дня, потом все наладилось. А кашель так и остался. Ночью спим хорошо. Остались на пульмикорте, иногда кашляет меньше, иногда больше. Утром просыпается, покашливает. Ингаляции с пульмикортом, и потом днём можем не кашлять длительно. Вечером покашливание, ночью нет. Теперь заметили что после ингаляций стал закашливатся подолгу. В побочных действиях на препарат есть кашель. Сейчас дышим пульмикортом один раз 0,25.
Были у иммунолога, спросила сдавали ли мы на антитела к аскаридам. Нет, такого анализа не сдавали. Она нам выписала в профилактических целях попить немозол 5 дней. Пока пропиваем, до конца еще не закончили лечение. Покашливание осталось.
Как нам найти причину кашля? Педиатр говорит астма зреет. Нам так и ждать пока зреть будет или можно что то предпринять?